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プログラミングと計算機科学とかわいさ

PSh圏とcolimit

圏論

PSh圏とcolimit

位相空間Xに対して、X上の前層Fとは、Xの開集合から集合への写像
 F(U) \quad \quad (U \in \mathcal{O}(X))
(で、かつ制限写像というものが定められているものの)のことです(詳しくは層 (数学) - Wikipedia等を参照)。

ここで、\mathcal{O}(X)に包含関係で順序を入れてこれを順序集合の圏( \mathscr{C}と表記)とみなします。するとFは、
 F: \mathscr{C}^{op} \to Sets
なる反変函手であって、この函手を対象、函手の間の自然変換を射とするような函手圏 \mathbf{Sets}^{\mathscr{C}^{op}}が定義できます。
(余談ですが、 \mathbf{Sets}^{\mathscr{C}^{op}}は米田の補題でもおなじみの圏です。米田函手は Y:\mathscr{C} \to  \mathbf{Sets}^{\mathscr{C}^{op}}という函手だったので、これは位相から前層への写像とみることができます。)

こうしてできたXの上の前層の圏を PSh(X)とかきます。

さらにX上の前層がであるとは、Xの全ての開集合 Uについて、既約性条件と閉条件と呼ばれる2つの条件をみたすようなもののことです。これを圏の言葉で書くと、
対象 F(U)と射F(U) \to \Pi_i F(U_i)\prod_i F(U_i) \Rightarrow \prod_{(i_0,i_1) \in I \times I} F(U_{i0} \times U_{i1})のequalizerである*1といえます。

前層はただの反変函手に過ぎませんがよい性質を持っています。例として次の命題を挙げます。

Def: 函手 F: \mathscr{C}^{op} \to Setsh_X:=\mathscr{C}(-,X) \quad : \quad \mathscr{C}^{op} \to Setsと自然同型であるとき、この函手を表現可能とよぶ。

Prop: 全ての前層は表現可能な前層のcolimitである。

とても面白い性質です!

前層がlimitを持てばequalizerも持つはずなので上のことから自然に層になります。
(またnLabによるとこのcolimitはcoendを使って書くとすっきり表現できるらしいのですが、まだそこまでは理解が追いついていないです。)

参考文献

*1:ここで⇒は、2本の平行射を表します