PSh圏とcolimit

位相空間Xに対して、X上の前層Fとは、Xの開集合から集合への写像
$F(U) \quad \quad (U \in \mathcal{O}(X))$
(で、かつ制限写像というものが定められているものの)のことです(詳しくは層 (数学) - Wikipedia等を参照)。

ここで、 $\mathcal{O}(X)$ に包含関係で順序を入れてこれを順序集合の圏( $\mathscr{C}$ と表記)とみなします。するとFは、
$F: \mathscr{C}^{op} \to Sets$
なる反変函手であって、この函手を対象、函手の間の自然変換を射とするような函手圏 $\mathbf{Sets}^{\mathscr{C}^{op}}$ が定義できます。
(余談ですが、 $\mathbf{Sets}^{\mathscr{C}^{op}}$ は米田の補題でもおなじみの圏です。米田函手は $Y:\mathscr{C} \to \mathbf{Sets}^{\mathscr{C}^{op}}$ という函手だったので、これは位相から前層への写像とみることができます。)

こうしてできたXの上の前層の圏を $PSh(X)$ とかきます。

さらにX上の前層が層であるとは、Xの全ての開集合 $U$ について、既約性条件と閉条件と呼ばれる2つの条件をみたすようなもののことです。これを圏の言葉で書くと、
対象 $F(U)$ と射 $F(U) \to \Pi_i F(U_i)$ が $\prod_i F(U_i) \Rightarrow \prod_{(i_0,i_1) \in I \times I} F(U_{i0} \times U_{i1})$ のequalizerである*1といえます。